a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>BE\(\perp\)ED tại E

=>BE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔDBA vuông tại B có BE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(3\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)

c: Xét ΔOKA vuông tại K và ΔOHF vuông tại H có

\(\widehat{KOA}\) chung

Do đó: ΔOKA đồng dạng với ΔOHF

=>\(\dfrac{OK}{OH}=\dfrac{OA}{OF}\)

=>\(OH\cdot OA=OK\cdot OF\left(5\right)\)

Xét ΔOCA vuông tại C có CH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OC^2=R^2=OD^2\left(6\right)\)

Từ (5)và (6) suy ra \(OK\cdot OF=OD^2\)

=>\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OF}\)

Xét ΔOKD và ΔODF có

\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OF}\)

\(\widehat{KOD}\) chung

Do đó: ΔOKD đồng dạng với ΔODF

=>\(\widehat{OKD}=\widehat{ODF}=90^0\)

=>FD là tiếp tuyến của (O)

a: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BC và OH là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

góc BOA=góc COA
OA chung

=>ΔOBA=ΔOCA

=>góc OBA=góc OCA=90 độ

=>AC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔBKD nội tiếp

BD là đường kính

=>ΔBKD vuông tại K

Xét ΔBAD vuông tại B có BK là đường cao

nên AK*AD=AB^2

=>AK*AD=AH*AO

Bài 1:

a: Ta có: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}\)

=>\(\widehat{OCA}=90^0\)

=>AC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔBKD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBKD vuông tại K

=>BK\(\perp\)KD tại K

=>BK\(\perp\)AD tại K

Xét ΔABD vuông tại B có BK là đường cao

nên \(AK\cdot AD=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AK\cdot AD=AH\cdot AO\)

Câu 8:

a: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

=>\(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

=>\(\widehat{CBA}=60^0\)

Xét ΔOBC có OB=OC và \(\widehat{OBC}=60^0\)

nên ΔOCB đều

=>BC=OB=R

=>BO=BM=R

=>B là trung điểm của OM

Xét ΔOCM có

CB là đường trung tuyến

CB=1/2OM

Do đó: ΔOCM vuông tại C

b: Ta có: OB+BM=OM

=>OM=R+R=2R

Ta có: ΔOCM vuông tại C

=>\(OC^2+CM^2=OM^2\)

=>\(CM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)